PELUANG KEJADIAN MAJEMUK

PELUANG KEJADIAN MAJEMUK

1. Macam-Macam Kejadian

(1) Kejadian Terputus

            Pada  Tabel 2.2 sebelumnya, para pembudidaya  ikan dikelompokkan ke dalam beberapa kelas, dengan syarat bahwa tidak seorang pembudidaya ikan tersebut digolongkan  ke dalam  lebih dari satu kelas. Setiap pembudidaya  ikan hanya tergolong  kedalam satu kelas. Dengan demikian kelas-kelas tersebut terputus.  Dua kejadian dikatakan “terputus” jika  dua kejadian tersebut tidak dapat terjadi bersama-sama. Kelas yang tercantum di Tabel 2.2  merupakan kejadian terputus.

(2) Kejadian Dasar

Kejadian dasar adalah  kejadian-kejadian yang mendasari keseluruhan kejadian dalam universum.

(3) Kejadian Majemuk

Dengan menggabungkan beberapa kejadian dasar seperti yang tercantum di Tabel 2.2  dapat dibentuk kejadian majemuk.  Secara umum ada tiga macam kejadian majemuk, yaitu :

(a)    Perpotongan dua atau lebih kejadian

(b)   Paduan dua atau lebih kejadian.

(c)    Tandingan (komplemen)  suatu kejadian.

2. Denah Venn

Untuk menjelaskan ketiga  pengertian di atas , dipergunakan suatu denah  yang disebut denah Venn seperti ditunjukkan pada Gambar  3.1.

(a)    Terjadinya kejadian A dan B bersama-sama dilambangkan sebagai             “A Ç B” (dibaca A tudung B). Kejadian ini merupakan kejadian majemuk, yaitu perpotongan antara kejadian A dan B. 

(b)   “Paduan antara A dengan B” dilambangkan sebagai “ A È B” (dibaca “A mangkuk B) adalah  tiga kejadian terputus, yaitu : “kejadian A  terjadi, tapi B tidak”,   “B terjadi tetapi A tidak”,  dan   “”A dan B terjadi bersama-sama”, sehingga diperoleh :

P(A È B) = P(A terjadi tapi B tidak) + P( B terjadi tapi A tidak) + P(A Ç B)               (3.1)

 

                             Gugus universum U serta kejadian A dan B

                       

U                                   . . . . . . . . . . . . . . . . . .                           U       A  A  A  A  A  A   . . . . . . . . . . . . . . . . . . U       A  A  A   A  A  A     U  U  U  U  U  U U  U U       A  A  A  A  A  A  A   . . . . . . . . . . . . . . . . U               . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

                        © Tandingan kejadian A ( . . . . . . . )

 

                                     B  B  B  B  B                                        

   A  A  A  A  A  A  A  A  B  B  B  B                               A B A B A

    A  A  A  A  A  A  A  A    B  B  B                               A B A B A B A

   A  A  A  A  A  B  B  B  B  B  B  B                               B A B A B A B A

 

              paduan  A dan B                                            perpotongan  A dan B

    Gambar 3.1. Denah Venn tentang paduan, perpotongan dan tandingan

                         ( Nasoetion dan Barizi, 1980)

            Pada Gambar 3.1 terlihat bahwa kejadian A terdiri dari dua kejadian terputus, yaitu “ A terjadi tapi B tidak” dan  “(A Ç B)”. Demikian juga  kejadian B terdiri dari dua kejadian  terputus, yaitu “ B terjadi tapi A tidak” dan  “(A Ç B)”.  Menurut kaidah peluang  berlaku :

P(A)  =  P (A terjadi, tapi B tidak)  + P(A Ç B)                                             (3.2)

P(B)  =  P (B terjadi, tapi A tidak)  + P(A Ç B)                                              (3.3)

diperoleh :

            P (A È B)  =  P (A) + P (B) - P(A Ç B)                                                          (3.4)

            Ini berarti, jika ada dua kejadian A dan B yang tidak perlu terputus, maka peluang terjadinya A dan/ atau B (paduan A dan B) adalah sama dengan jumlah peluang A dan B, dikurangi dengan peluang terjadinya A dan B  secara bersama-sama. Oleh karena itu, jika A dan B merupakan dua kejadian yang terputus, berarti  P (A Ç B) = 0.

3. Latihan

(1). Latihan  1.

            Misalkan ada suatu lingkungan tambak udang dilayani oleh lima penyedia pakan ikan, yaitu  tiga orang gemuk, sebut saja Ali, Akhmad dan Adam,  dua orang kurus, sebut saja  Badu dan Badar. Tiap-tiap pengantar ini melayani sebagian dari  lingkungan tambak  dalam rayon.

            Kelima orang penyalur pakan ini melakukan undian pilihan rayon yang akan dilayani untuk setiap harinya oleh seseorang. Undian dilakukan dengan cara menarik  lima  gulungan kertas  yang telah dinomori. Dengan cara ini, setiap petugas penyalur pakan  dan rayon tersebut memiliki kesempatan yang sama, yaitu masing-masing  1/5. Dengan demikian, petugas penyalur pakan maupun rayon tujuan telah  ditentukan secara acak.

Pertanyaan :

1. Berapa peluang suatu rayon dilayani oleh petugas penyalur pakan  gemuk ?
2. Jika  Ali  Gemuk, Akhmad Gendut  dan  Badu Kurus  naik mobil, sedangkan  yang lainnya naik sepeda motor. Jika seandainya dari jauh kita melihat petugas penyalur pakan  naik mobil berapa peluang  petugas penyalur pakan  gemuk? Apa yang dapat disimpulkan ???.

Jawab :

1. Jika G melambangkan  seorang petugas penyalur pakan berperawakan gemuk, mada atas dasar definisi peluang diperoleh P(G) = 3/5. Kejadian  tandingan G, yaitu rayon yang dilayani oleh petugas tidak gemuk, sebut saja dengan simbul , maka  :

P() =  1 – 3/5 = 2/5.  

P(G) + P() = 1                                                                     (3.5)

2. Jika  petugas penyalur pakan  yang  bermobil dilambangkan dengan M, maka :

P(M) =  3/5.

Kejadian  petugas penyalur pakan  berperawakan gemuk dan  sekaligus menggunakan mobil dapat dilambangkan dengan  P(GïM), maka peluang bagi kejadian bersyarat tersebut adalah P(GïM)  =  2/3.

3. Dengan dasar uraian,  maka akan diperoleh rumusan peluang bersyarat sebagai berikut :

P(G)                =  3/5 

P(M)                =  3/5

P(G Ç M)        =  2/5, yaitu gemuk dan naik mobil.

Perhatikan : 

                        2/5         P(G Ç M) 

2/3 =            =              

                                                            3/5            P (M)

                                    Kesimpulan :

                                                                                  P(G Ç M)

                                                            P(G ï M)  =                                                      (3.6)

                                                                                      P (M)

            Kita perhatikan  nilai  peluang bersarat  P(G ï M) dengan nilai 2/3 atau 10/15 lebih besar  dari  pada peluang  tanpa sarat  P(G) dengan nilai  3/5 atau  9/15. Namun sebaliknya, peluang rayon dilayani  petugas Gemuk dan tidak pakai mobil (), yaitu  naik sepeda motor  (S) akan diperoleh :

                                                            P( G Ç )            1/5

                                    P(Gï )  =                           =                 =   ½.

                                                                 P()                2/5

                                    P(Gï )   lebih kecil dari   P(G).

            Dengan dasar pengertian peluang bersyarat pada persamaan (3.6) diperoleh  peluang perpotongan  dua kejadian, yaitu   gemuk (G) dan naik mobil (M), yaitu :

P(G Ç M)  =  P(M) . P(G ï M)  =  P(G). P(M ï G)                                                     (3.7)

(2). Latihan 2.

            Dengan dasar persamaan (3.7), peluang terjadinya dua kejadian sekaligus dapat dihitung, misalnya tertariknya dua kartu AS  berturut-turut  dari susunan kartu bridge  yang telah dikocok sebagai berikut :

Andaikan A₁ kejadian tertariknya AS  dari 52 kartu bridge pada tarikan pertama. A₂ kejadian tertariknya AS pada tarikan kedua, dalam hal ini ada 4 AS.

Berapa peluang dua kejadian  tertariknya A₁ dan A₂ tersebut ?

Jawab :

                                                            P(A₁)   =  4/52

                                                            P(A₂)   =  3/51

                                                P(A₁ Ç A₂)      = P(A₁). P (A₂ï A₁)

                                                                        = 4/52. (3/5) 

                                                                        = 1/221

(3). Latihan 3.

            Jika penarikan kartu AS menggambarkan  kejadian A2 tidak tergantung dari kejadian A1, yaitu dengan cara seseorang menarik kartu AS, tapi kemudian dikembalikan, selanjutnya  dikocok lagi, maka  kita bisa menyatakan :

            P (G ï M)  = P(G) tidak tergantung pada P (M ï G) = P(M) , sehingga  persamaan (3.7) akan menjadi :

                                    P(G Ç M)        =  P(G). P(M)                                                   (3.8)

Untuk teladan latihan  kartu AS yang dikocok ulang akan diperoleh   A₁ dan A₂ merupakan kejadian  bebas, yaitu :

P(A₁ Ç A₂)      = P(A₁) . P (A₂)  =  1/52 . 1/52  =  1/2704 =  0,00037                       

4. Kesimpulan :  Kaidah Peluang Kejadian Majemuk

Dengan dasar uraian tersebut diatas, maka dapat disusun kaidah peluang suatu kejadian majemuk adalah = jumlah semua peluang kejadian dasar yang menyusunnya. (Persamaan 3.4).