SEBARAN BINOMIUM

SEBARAN  BINOMIUM

Tujuan Umum :

            Mampu memahami  sebaran peubah acak binomium

Tjuan Khusus :

1.      Mampu menjelaskan pengertian peubah acak diskret,

2.      Mampu menghitung koeffisien  binomium,

3.      Mampu menghitung  fungsi peluang binomium.

4.1. Peubah Acak Diskret

            Pengukur daya hasil, yaitu produksi,  ton per ha dan suvival rate  (% ekor per jumlah benih yang ditebar) per ha disebut peubah acak. Peubah acak dapat dipandang sebagai suatu kejadian.  Banyaknya  ikan yang dapat dipanen per ha bisa merupakan bilangan cacah atau persentase. Bilangan cacah  1,2,3,4 ......... dst.  Merupakan nilai-nilai yang diskret. Peubah acak yabg demikian disebut peubah acak diskret.  Sedangkan  produksi (ton) per ha dapat mengambil nilai yang kontinu,  misalnya  2,0 ton –2,5 ton. Peubah acak ini disebut  peubah acak kontinu.

            Misalkan kita melempar sekeping mata uang,  dua sisi, muka (M) dan belakang (B)  sebanyak tiga kali. Lambangkan kejadian (peubah acak) ini dengan Y. Dari ketiga lemparan  mata uang, ada  empat kemungkinan  peubah acak Y mengambil nilai :

1. M muncul  3, 2, 1 dan 0  kali, kita gunakan untuk menghitung peluang  untuk tiga kali lemparan, P(Y=0), untuk M tidak muncul sama sekali;  P(Y=1), untuk M muncul satu kali, P(Y=2);  untuk M muncul dua kali dan P(Y=3) untuk M muncul tiga kali. Dalam tiga kali lemparan mata uang, sisi apapun yang muncul pada lemparan pertama, tidak mempengaruhi sisi yang muncul pada lemparan kedua, dan selanjutnya.
2. Oleh karena itu, jika peluang munculnya M dalam sekali lemparan  adalah p, sehingga P(M) = p, maka P(B)  = 1-p.
3. Dengan  melambangkan M₁ = kejadian timbulnya sisi M pada lemparan pertama; M₂ = kejadian timbulnya sisi M pada lemparan kedua; dan M₃ = kejadian timbulnya sisi M pada lemparan ketiga, maka peluang P(Y= 0), P(Y= 1), P(Y = 2), dan P(Y = 3) adalah sebagai berikut  :

Tabel  4.1.  Nilai peluang P untuk tiga kali lemparan mata uang

Kejadian Munculnya M	Besarnya Peluang Munculnya M [ P(M) = p; P(B)  =  1-p ]	Nilai Peluang Munculnya M
M=0, P(Y=0) = M=1, P(Y=1) = M=2, P(Y=2) = M=3, P(Y=3) =	P(B1 Ç B2 Ç B3)  = P(B1) . P(B2) . P(B3)  ................. P(M1ÇB2ÇB3) È P(B1ÇM2ÇB3) È P(B1ÇB2 ÇM3) = P(M1ÇB2ÇB3) + P(B1ÇM2ÇB3) + P(B1ÇB2 ÇM3)  = P(M1)*P(B2)*P(B3)+P(B1)*P(M2)*P(B3)+P(B1)*P(B2*(M3) = p(1-p)(1-p)+(1-p) p (1-p)+(1-p)(1-p)p =  .................. P(M1ÇM2ÇB3) È P(M1ÇB2ÇM3) È P(B1ÇM2 ÇM3) = P(M1ÇM2ÇB3) + P(M1ÇB2ÇM3) + P(B1ÇM2 ÇM3)  = P(M1)*P(M2)*P(B3)+P(M1)*P(B2)*P(M3)+P(B1)*P(M2)*P(M3) = p(p)(1-p)+ p(1-p) (p)+(1-p)(p) p =  .......................... P(M1 Ç M2 Ç M3)  = P(M1) . P(M2) . P(M3)  .................	(1-p)3   3p (1-p)2 3p2 (1-p) p3
Jumlah		Jumlah = 1

            Kejadian Majemuk :

 A Ç B   = Perpotongan A dan B, keajian A dan B terjadi bersama-sama.

 A È B   = Paduan, kejadian A terjadi, tapi  B tidak.

4.2 Koeffisien Binomium

            Nilai peluang munculnya M di Tabel 4.2, kolom (3) dapat ditulis sebagai berikut

                                                P(Y=0)  =   (1-p)³      =  1. p⁰ (1-p) ^3-0

                                                P(Y=1)  =  3p (1-p)²  =  3. p¹ (1-p) ^3-1

            P(Y=2)  =  3p² (1-p)  =  3. p² (1-p) ^3-2

            P(Y=3)  =     p³          =  1. p³ (1-p) ^3-3                       (4.1)

Kalau kita perhatikan koeffisien  nilai  P(Y=0), P(Y=1), P(Y=2) dan P(Y=3)  yaitu : 1, 3, 3, 1  adalah seperti yang tergambar pada  koeffisien binomium  di Tabel 3.2. Koeffisien binomium pada  persamaan (4.2)  masing-masing dilambangkan  dengan  C(3,0(, C(3,1), C(3,2) dan C(3,3), dimana :

                        n!

C(n,i)  =                         , untuk  i  =  1,2,3, .................n                              (4.2)

                   i! (n-1)!    

dimana :

n!  =  1. 2. 3...................(n-1). n dan

0!  =  1

C(3,2) artinya munculnya  dua sisi M  untuk tiga kali lemparan.

Latihan I : Menghitung Koefisien Binomium

                                                                                                                       3!

Banyaknya kombinasi yang memberikan Y = 2 adalah  C(3,2)  =                =  3 buah.

                                                                                                      2! (3-2)! 

                                                                                                            3x2x1

                                                                                                   =       --------- = 3 buah

                                                                                                             2x1 (1)

Tabel 4.2.  Koeffisien Binomium

Jumlah Lemparan (n)	Koeffisien Binomium
1 2 3 4 5 6 7 8 dsl.	1                                         1     2     1                                       1    3      3     1                                     1    4     6     4    1                                   1    5   10   10   5    1                                 1    6   15  20  15   6      1                            1     7   21  35  35  21   7  1                            1    8   28   56  70  56  28  8   1        dsl.

Sumber :  Snedecor (1962) : Statistical Methods, p. 475.

4.3. Fungsi   Peluang Binomium

            Atas dasar uraian tersebut diatas, maka rumus umum bagi fungsi peluang  binomium peubah acak Y  mengambil nilai tertentu = y  atau ditulis P(Y = y) adalah

 

P(Y=y)  =          C(n,y) p^y (1-p) ^n-y, untuk y  =  0, 1,2, 3, 4, ........................ n         (4.3)

                           0, untuk nilai  y   lainnya

            Dengan dasar perhitungan dan Gambar di box ditunjukkan, jika peluang  kedua muka uang sama besar, yaitu p = 0,5, maka dapat diharapkan sisi M  muncul sama sering dengan  sisi B. Namun jika mata uang berat sebelah, maka salah satu M atau B akan muncul lebih sering. Atas dasar uraian tersebut diatas, suatu peubah acak binomium  y adalah peubah acak yang timbul dari suatu prosedur berikut :

a.        Sejumlah n kejadian, tiap kejadian dapat menghasilkan “sukses”  atau “tidak sukses”.

b.       Kejadian –kejadian itu  saling independen (bebas).

c.        Peluang sukses dalam tiap kejadian tetap sama, yaitu = p dan peluang tidak sukes adalah q = 1-p.

d.       Peubah acak Y = banyaknya sukses dalam n kejadian.

Latihan  2 : Sebaran Binomium

 Andaikan nilai-nilai P(Y=y) ditentukan oleh nilai n dan p,  empat kali (n = 4) lemparan :

1. n = 4 dan p = 0,5
2. n = 4 dan p = 0,9
3. n = 4 dan p = 0,1

Pertanyaan :

1. Hitung nilai-nilai P(Y=y) masing-masing ?
2. Gambarkan hasil perhitungan nilai-nilai yang diperoleh ?

Tabel 4.3. Hasil perhitungan nilai P(Y=y) untuk y = 0 – 4                                                 (a)   n = 4  dan p =  0,5        8 -                                                                                            7 - P(Y=0)  =  C(4,0)(0,5)2  =  0,0625                                      6 - P(Y=1)  =  C(4,1)(0,5)2  =  0,2500                                      5 - P(Y=2)  =  C(4,2)(0,5)2  =  0,3750                                      4 - P(Y=3)  =  C(4,3)(0,5)2  =  0,2500                                      3 - P(Y=4)  =  C(4,4)(0,5)2  =  0,0625                                      2 -                                                                                            1 -                        Jumlah    =   1,0000                                        -                                                                                                    1     2     3     4                                                (b) n = 4  dan p =  0,9             9 -                                                                                              8 - P(Y=0)  =  C(4,0)(0,9)0 (0,1)4  =  1(0,0001)  =  0,0001         7 - P(Y=1)  =  C(4,1)(0,9)1 (0,1)3  =  4(0,0009)  =  0,0036         6 - P(Y=2)  =  C(4,2)(0,9)2 (0,1)2  =  6(0,0081)  =  0,0486         5 - P(Y=3)  =  C(4,3)(0,9)3 (0,1)1  =  4(0,0729)  =  0,2916         4 - P(Y=4)  =  C(4,4)(0,9)4 (0,1)0  =  1(0,6561)  =  0,6561         3 -                                                                                               2-                                                         Jumlah  =  1,0000         1-                                                                                                                                                                                                         1     2     3     4                                                                                                                                                                                                  (c) n = 4  dan p =  0,1              9 -                                                                                               8- P(Y=0)  =  C(4,0)(0,1)0 (0,9)4  =  1(0,6561)  =  0,6561         7 - P(Y=1)  =  C(4,1)(0,1)1 (0,9)3  =  4(0,0729)  =  0,2916         6 - P(Y=2)  =  C(4,2)(0,1)2 (0,9)2  =  6(0,0081)  =  0,0486         5 - P(Y=3)  =  C(4,3)(0,1)3 (0,9)1  =  4(0,0009)  =  0,0036         4 - P(Y=4)  =  C(4,4)(0,1)4 (0,9)0  =  1(0,0001)  =  0,0001         3 -                                                                                               2-                                                         Jumlah  = 1,0000          1 -                                                                                                  -                                                                                                      1     2     3     4

Sumber : Nasution dan Barizi (1980) : Metode Statistik , p. 53

Perhatikan dalan box Tabel 4.3. Dengan dasar perhitungan dan Gambar di box ditunjukkan, jika peluang  kedua muka uang sama besar, yaitu p = 0,5, maka dapat diharapkan sisi M  muncul sama seringnya dengan  sisi B. Namun jika mata uang berat sebelah, maka salah satu M atau B akan muncul lebih sering.    

 Latihan 3 : Menghitung  Besarnya Peluang Binomium

            Misalkan  “test multiple choiice” terdiri dari 25 pertanyaan. Untuk setiap pertanyaan tersedia lima alternatif jawaban.  Seorang mnahasiswa memilih satu jawaban secara acak dan mempunyai peluang mendapatkan jawaban yang benar = 1/5. Pertanyaannya, berapa peluang mahasiswa itu menjawab benar n:

1. Paling banyak lima jawaban.
2. Lebih dari 10 jawaban.

Jawaban :

1. Misalkan y = banyaknya jawaban benar yang diperoleh berdistribusi binomium dengan n = 25 dan p = 1/5 = 0,2. 

Dari Tabel binomium P ( y £ 5 ] =  B(5; 25;  0,2) = 0,617.

2. Karena kejadian  ( y > 10) adalah komplemen dari kejadian  ( y < 10) , maka P[ y > 10]  =  1- P[ y > 10]  =  1 – B(10 ; 25 ; 0,2)  =  1 – 0,994  =  0,006.